来自分岔理论的概念

安全事件超临界霍普夫

问

(一)

-----------------

jr周期

点^ -1

优点

稳定路径不稳定路径

图3.2三种分岔类型示意图在左边，控制参数，×，被水平绘制，响应，q，垂直绘制。中间一列显示了对小扰动的响应时间序列，如果< ^ crit-在右边，我们显示了系统如何偏离其先前稳定的稳定状态，如果≥> // "它-不同类型的事件(从上到下)(a)安全，(b)爆炸性和(c)危险。

图3.2三种分岔类型示意图在左边，控制参数，×，被水平绘制，响应，q，垂直绘制。中间一列显示了对小扰动的响应时间序列，如果< ^ crit-在右边，我们显示了系统如何偏离其先前稳定的稳定状态，如果≥> // "它-不同类型的事件(从上到下)(a)安全，(b)爆炸性和(c)危险。

响应q是垂直画出来的。对许多人来说，最常见的(安全的)分岔是所谓的超临界干草叉或稳定对称分岔点(Thompson & Hunt, 1973)。欧拉(1744)在他对一个细长弹性柱的屈曲的经典分析中首次描述了这一点，并被教授给工程学生作为“欧拉屈曲”，其中柱所承载的载荷是控制参数。庞加莱(1885)探索了天体物理学中的许多应用。在这种情况下，柱上没有横向挠度(q = 0)的平凡初级平衡路径在临界点C变得不稳定，其中^ = ^crit。垂直穿过C，然后向增加方向弯曲是一个稳定的偏转态二次平衡路径，即后屈曲路径。在±>时存在(稳定的)平衡态，这就是为什么我们称这个分岔为超临界干草叉。相比之下，许多壳状弹性结构表现出危险的分叉，具有(不稳定的)后屈曲路径，该路径朝着载荷的递减值弯曲，因此被称为亚临界沥青叉。这两个干草叉是安全分叉和危险分叉的极好例子，但它们没有出现在我们的列表中，因为它们不是一般系统中的共维1事件。圆柱的分岔不是共维1，这表现在一个完全直的圆柱不是一个典型的物体; any real column will have small imperfections, lack of straightness being the most obvious one. These imperfections round off the corners of the intersection of the primary and secondary paths (in the manner of the contours of a mountain pass), and destroy the bifurcation in the manner described by catastrophe theory (Poston & Stewart, 1978; Thompson, 1982). We shall see a subcritical pitchfork bifurcation in a原理图图3.3中由于Rahmstorf(2000)的THC响应。这只在非常简单(非通用)的模型中观察到，在更复杂的模型中被折叠所取代。

正是因为干草叉缺乏典型性，我们选择用其他(共维1)分岔来说明图3.2中安全与危险的分岔。作为一个安全事件，我们在图3.2(a)中显示了超临界Hopf分岔。这有一个以±i单调递增的平衡路径，其点吸引子在C处以振荡方式失去稳定性，抛出了一个稳定极限环的路径，该路径向递增方向增长。例如，在机械加工振动开始时，会发生这种情况，并触发飞机的鳍和副翼的气动颤振。与干草叉不同，这幅图不会因系统的小扰动而发生质的改变。

作为我们的爆炸事件，我们在图3.2(b)中显示了涉及极限环上鞍节褶皱的流爆炸。在这里，点吸引子的主要路径达到垂直切线，并立即发生大振荡。与超临界Hopf一样，在反转控制参数的扫描时重新遵循所有路径，没有迟滞现象。

最后，作为图3.2(c)中的危险事件，我们选择了简单静态折叠(也称为鞍-结分岔)，这实际上是在科学应用中遇到的最常见的分岔:我们将在3.6.1节中讨论THC的分岔。事实上，这种褶皱是在微扰环绕(非典型的)次临界干草叉时产生的，揭示了薄航天壳结构屈曲中臭名昭著的尖锐缺陷敏感性(Thompson & Hunt, 1984)。在折叠中，稳定点吸引子的平衡路径在平滑地向后增加折叠^的情况下被遵循，如图所示为减少^的不稳定路径。在接近/xciit的拐点时，吸引强度逐渐丧失，瞬态运动的LDR(见3.4节)沿着路径的弧长直接经过零。这使得它的变化呈^抛物线型，但这种细微的区别在第3.6-3.7节的气候倾斜研究中似乎没有什么意义。raybet雷竞技最新幸运的是，在这些研究中，LDR的早期下降通常在任何路径曲率明显之前就被识别出来。当^增加到^crit时，系统会发现自己附近没有平衡状态，因此不可避免地会快速动态跳转到任何类型的远程吸引子。在反转控制扫描时，系统将停留在这个远程吸引子上，为可能的迟滞循环奠定基础。

我们从这些分歧中立即看到，主要是危险的形式将与我们在这里关注的气候临界点相对应，并作为其基础。raybet雷竞技最新(例如，如果我们采用兰顿基于时间范围对临界点的相对宽松的定义(见第3.5节)，即使是安全的分岔也可能是潜在的触发点。)在某些准平稳动力学可以被视为主要确定性系统的平衡路径的情况下，理解分岔方面将特别有帮助，尽管该系统可能受到噪声的随机扰动。我们应该注意到，危险的分岔通常是不确定的，因为系统跳转到的远吸引子经常以无限的灵敏度依赖于分岔实现的精确方式。当分岔点恰好位于分形盆地边界上时，就会出现这种情况(相当普遍和典型)(McDonald等人，1985;汤普森，1992,1996)。在一个模型中，需要在稍有不同的起始条件下重复运行，以探索所有可能的结果。

表3.5列出了表3.2-3.4中的分岔的前兆，人们通常使用它们来确定(大多数)确定性系统中的分岔是否在附近。一个小的“踢”扰动了观察到的稳态。当稳态仍然稳定时，系统松弛回到稳态。这种弛豫衰减与exp(Xt)成指数比例，其中t是时间，X(在此上下文中为负值)是失稳模式的关键特征值(Thompson & Stewart, 2002)。局部衰减率LDR(在3.4节中称为k)是X的负数。

以这种方式定义，当我们走向不稳定时，趋于零的正LDR量化了“瞬态放缓”。我们看到绝大多数(虽然不是全部)典型事件显示出LDR在分岔处消失的有用前兆(尽管在某些情况下衰减是振荡的)。在较轻的随机噪声下，临界模态的方差将相应地表现出与LDR的倒数成正比的散度。在北大西洋温盐环流崩溃的第3.6.1节中，我们将看到静态褶皱，LDR前体当然具有单调衰减。如表3.5所示，在靠近分岔处，一些ldr随对照线性变化，而一些ldr沿(折叠)路径线性变化，这是一个细微的区别，在气候研究中可能没有用处或观察不到。raybet雷竞技最新

我们刚刚提出的共维1分岔的轮廓适用于由连续系统产生的动态流，在连续系统中，时间像在现实世界中一样平稳变化，也像在那些由微分方程控制的计算机模型中一样。对于(例如)由迭代系统控制的动态映射的分岔，有非常类似的理论和分类，其中时间以有限步长变化。在处理来自冰芯等的实验数据集时，正是需要这些类似的理论，我们将在下一节中说明。与此同时，离散时间数据的理论与生物圈中某些部分的临界点的可能性直接相关，在这些部分中，时间通常以代或季为单位来考虑;在一些种群中，比如昆虫，在下一代出生之前，一代就消失了。

分析离散时间数据所需要的等效概念如下。我们在最近的文献(第3.6节和3.7节)中的例子中使用的方法是寻找yn+1 = cyn形式的潜在线性确定性映射，该映射控制瞬态的临界减速模式。这个方程表示当映射c的特征值小于1时指数衰减，但当c大于1时指数增长。因此，对应于LDR下降到零，我们将期望c增加到单位。