平面应变中的不变量
现在让我们检查平面应变(式(9.5))中的不变量和式(9.8)中的不变量之间的关系。平面应变的意思是在一个坐标方向上没有变形，在这里是z方向。由于变形是由偏应力引起的，这意味着aZz, a'xz和a^都是0。由式(9.7)可得:
那么azz = P，然后由式(9.6)得到:
(请注意，由于azz = P, azz不等于0，即使a'zz等于0。)azz = 0, J1 = (a'xx + ay，)。利用式(9.7)和式(9.13)，可以很容易地表明，与在三维中一样，平面应变中的J1也等于0。
然后由式(9.10)，加减2a'xxa'yy，完成平方:
J2 = 2 K + 2aXy + a* + 2a'xxa'yy - 2a'xxa'yy)
J2 = 1 [(a' ' ' - a'yy)2 + 2a% + 2a ' ' ayy]
将式(9.7)代入总应力，得到:
J2 = 1 [(axx - ayy)2 + 2axy + 2^ayy - axxP - ayyP + P2)]利用式(9.13)进行操作，得到:
2 [(axx - ayy)2 + 4a?y]
(然后可以证明在二维中J3 = J2，但我们在这里不这样做。)
你会发现式(9.13)和式(9.14)的右边分别是式(9.5a)和式(9.5b)的不变量。使用公式(9.9)，你会看到|(axx + ayy) = 3h和
-
- rOSLdx dx
^ dx pgdxdydz
^ dx pgdxdydz
图9.5。应力大小为dx dy dz。(a)正常应力。(b)剪应力(仅x方向)。
由式(9.14)可知±[(a22 - ayy)2 + 4a^y]1/2 = VJ =因此，我们在式(9.5)中首先确定的二维不变量是I1和J2的函数。
式(9.14)的右边为平面应变中的最大剪应力。你可以将式(9.2)的导数设为0来证明这一点。此外，如果选择与主应力平行的轴，a2y将消失，剩下:
最大剪应力的方向将是45°和135°的主轴。(为了说明这一点，确定aS为最大值的平面的方向，使用类似于我们用于获得式(9.3)的程序，并将这些平面与aN为最大值的平面的方向进行比较。)
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