降水和水流过程的随机预报
Juan b. val dÉs, paolo burlando，和josÉ d. salas
1介绍
在过去二十年中，水文学在发展短期和长期降水和流量预报的数学工具和方法方面进行了大量研究。这些预报可能涉及洪水预警，洪水控制，水质量控制航海、能源生产和灌溉。水文预报是指在水文事件实际发生之前估计其发生的时间和大小(如提前数天或数周估计日流量)，即实时估计水文现象的未来状态。实时(real-time)这个形容词经常被用来强调预测(根据当前可用数据估计未来水文事件)和模拟(有时被称为长期预测(在不一定以实时数据为条件的情况下估计同等可能的水文事件情景)之间的区别。简而言之，预测通常用于运营和管理目的，而模拟则用于设计和规划目的。
水文过程预测是许多人的重要工具水资源管理和操作问题。例如，提前几小时、几天、几周和几个月(取决于具体情况)进行降雨和流量预测对于许多洪水预警、疏散和减灾计划和行动都很重要。美国国家气象局(NWS)定期发布美国所有领土(全年)的降水预报，并在美国河流网络系统的关键控制点发布流量预报
《天气、气候和水手册:大气化学、水文和社会raybet雷竞技最新影响》，托马斯·d·波特和布拉德利·r·科尔曼编辑。ISBN 0-471-21489-2 CD 2003约翰威利父子公司
州。预测来年可能发生的具有一定强度的飓风的数量(Gray et al.， 1994)以及预测正在发生的飓风的路径和强度，一直是美国国家海洋和大气管理局(NOAA)飓风中心的常规活动。从水文和水资源的角度来看，预测飓风具有许多意义，特别是当它们与洪水的发生有关时。在涉及水库的系统中，飓风预报对于规划和实施特殊操作规则以应对即将到来的洪水是有用的。在可能遭受山洪暴发的小型河流系统中，提前几个小时预测降雨量和流量对于实施警报和警告公众等紧急行动可能至关重要。另一方面，在大系统中，如美国的密西西比河或阿根廷的Paraná河，洪水的发生可能持续数周或数月。在这种情况下，降雨和流量预报通常需要提前几周和几个月。此外，在春夏径流来自融雪的河流系统中，通常需要提前几周或几个月进行预测水的供应以及水电系统的运行，以及为可能发生的融雪洪水做准备。在这种情况下，确定当前系统中的积雪量和雪属性是最重要的。水库运行规则的发展和水库系统的实时运行可能需要每小时、每天、每周、每月和每年的预测，这取决于手头的具体情况。的预测降雨、降雪、积雪、土壤湿度、蒸发、水流、水库水位、河流水位和地下水头在大多数实际情况下通常是需要的。
虽然许多模型和技术在模拟或预测方面都是独一无二的，但水文过程的预测已经采用了与模拟类似的方法。本章强调基于随机和概率技术的预测。此外，重点将放在降水和水流过程上，尽管本文所包括的许多方法和模型同样适用于其他水文气候过程以及évapotranspiration、土壤湿度、地表水和地下水位以及海洋表面温度。
在开发降水和流量预报模型时，必须认识到模型参数中存在很大的不确定性，因为所考虑的相关过程的历史数据不足。此外，模型参数可能随时间缓慢或快速变化，但变化的确切性质是无法预测的。在这种情况下，开发一个具有自我学习能力的模型是非常可取的，这样它就可以适应当前的情况(Brown and Hwang, 1997)。为此，在假定动态系统参数和输入/测量误差统计量已知的情况下，文献中已经制定了滤波器。降水和流量预报则不是这样，需要额外的估计技术。在这种情况下，被称为卡尔曼滤波的顺序估计程序是最优的。然而，如果系统系数和协方差的实际值与状态估计中使用的值不同，则滤波器是次优的:状态估计可能包含比必要的更多错误，并且在某些情况下，偏离真实值的邻域。状态估计可以通过同时估计不确定参数和统计量来改进。这些附加信息可用于使滤波器增益和模型系数适应测量。自适应滤波器可能在极限情况下表现得与最优滤波器一样好(Stengel, 1986)。
非平稳特征通常被认为是由信号生成过程的随机部分中一个或多个积分器的存在引起的。这适用于以下情况:底层时间序列数据的模型只能通过参数来充分表征，这些参数会以某种显著的方式随时间变化。在所有这些情况下，卡尔曼滤波器提供了关于这些参数变化的可能性质的信息。其他统计工具用于短和长期预测降水和径流的综合分析方法包括基于回归模型、自回归综合移动平均(ARIMA)模型、ARMAX模型、传递函数噪声(TFN)模型和基于人工神经网络(ANN)的模型。下一节将简要介绍卡尔曼滤波，因为这种技术在水文气候预测中有广泛的应用，而且上面的许多模型都可以与卡尔曼滤波结合使用。随后的章节将包括许多关于降水和水流预报的参考模型和技术。
2 .自适应预测:卡尔曼滤波
自从卡尔曼滤波器被引入以来，它已经成为估计和控制理论领域的强大工具(Kalman, 1960;卡尔曼和布西，1961)。随着系统变得越来越复杂，输入和输出变量中都存在噪声，就有必要寻找可以利用过去表现并相应地调整未来预测的统计解决方案。它被视为降雨数学建模的补充工具径流过程而不是因为替代了知识的潜在机制水文过程是成功实现过滤器所必需的。本节的主要目的是介绍卡尔曼滤波器的一个介绍性观点，而不是对滤波器的统计特性进行彻底的理论解释。为了成功地将该滤波器应用于水文气候变量的实时预测，必须了解该滤波器的主要假设和局限性。
根据观测值的使用方式，有三种不同类型的估计问题:
•滤波观测值z = {zt z2，..•，z，\用于过滤，以获得系统状态的估计x，| \t。
•平滑观测z = {zl z2，…， z, zt+l}用于平滑，以获得系统xt状态的估计x，|，+1。
预测结果z = \zi z2，•..， z，_i}用于预测，以获得系统状态x，的估计xt\t~\°f。
关于该主题的详细讨论，读者可以参考专门的书籍(例如，Brown and Hwang, 1996)。本参考资料还包括一些应用程序的软件。递归算法是时变参数估计的理想算法。基于参数变化的随机建模的修正自然导致卡尔曼滤波器的发展和随机动态系统时变状态的估计。Kalman极大地扩展了时变参数或状态的状态估计和滤波理论，以处理非平稳时间序列的分析，并提供了一种自然的方法来分析假定由随机状态空间方程生成的时间序列数据。
当建模一个随时间演化的系统时，特别是在离散时间中定义的随机过程时，人们想要将系统置于状态空间形式或所谓的系统向量x的状态。(大多数线性模型可以转化为状态空间形式;非线性模型可以线性化，用泰勒级数展开将它们重新表述为状态空间形式。如果系统状态的未来值，xr+s, s = 1,2，…，可以使用x的知识来建模，(即x包含关于先前值î = 1,2，…的所有必需信息)，我们得到所谓的马尔可夫系统。x的最佳描述，使用x，_]， x，_2，…可以建模为
式(1)称为系统状态方程，其中<£(-)为转移函数，T()为噪声转移函数，w(为描述x部分的系统噪声向量，该部分不被xs, s < T所解释，且假定在s < T时与xs和wv无关。当<£(•)和T()不随时间变化时，系统被称为平稳系统。
在大多数应用中，系统的状态x "不是直接观测到的，而是在观测向量z "中测量的，z "是被测量噪声v破坏的x "的函数。这可以写成:
这个方程称为滤波器的观测方程，方程。(1)和(2)共同构成了卡尔曼滤波器的核心;它们可以表示线性或非线性系统。滤波问题是估计x，从观察Z]，…，zt，它们被测量噪声损坏。假设系统和观测值都是线性的，则(1)及(2)将采用以下形式:
其中
为了应用卡尔曼滤波，必须定义系统的随机性质和测量噪声。还有初始状态的性质
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