重力波

在前面概述的两类周期运动中，引力波在内陆水域中研究得最充分，理解得最好。我们将只考虑线性波，即振幅为的运动温跃层是与表层和底层的深度相比小。这并不是对分析的主要限制，因为在大多数情况下，非线性效应的包含只需要对线性近似进行轻微的修正。在本文中，我们关注Burger数为~1的情况，这样可以预期旋转效应。对于表面(正压)波，这通常需要宽度超过300公里的湖泊，而这样的湖泊很少。对于斜压运动，其相速度c远小于正压运动，有许多湖的伯格数为~1。为典型的斜压值内部波相速度(0.05-0.4 ms-1)，内部Rossby半径为~1-5 km(图1)，表明这种规模(或更大)湖泊的内部重力波应该经历地球的旋转效应。还要注意，斜压相速不像正压相速只取决于水深，斜压相速是分层的函数，因此一年四季都在变化。因此，在内部罗斯比半径(因此伯格数)比一年中的其他时间最小的强分层时期，旋转可能在内波动力学中发挥更重要的作用。

C = 0.4 m/s C =0.3m/s C = 0.2 m/s C = 0.1 m/s C = 0.05 m/s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90纬度

图1几种内部波速的内部罗斯比半径随纬度的函数。对于水平长度尺度类似或大于内部罗斯比半径，应观察到旋转效应。

C = 0.4 m/s C =0.3m/s C = 0.2 m/s C = 0.1 m/s C = 0.05 m/s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90纬度

图1几种内部波速的内部罗斯比半径随纬度的函数。对于水平长度尺度类似或大于内部罗斯比半径，应观察到旋转效应。

为了理解内陆水域这些运动的形式，从更简单的系统中积累知识是有指导意义的。我们从一个没有边界的旋转系统开始，比如在远离海岸的海洋中央，经典的重力波解被称为平面渐进解庞加莱波．与这些波相关的振幅(q)和速度结构(u,v)可以用q - q0 cos(kx - at)来描述。

式中u为波传播方向上的速度，v为横波方向上的速度，q0为最大振幅，k为波数(-2p /l，其中l为波长)，a为波频率(-2p /T，其中T为波周期)，H为水深(或内波的等效水深He)， f为惯性频率。流体粒子轨迹(在平面上，由于线性波假设，垂直运动较小)是传播方向上的长轴椭圆，椭圆轴之比为a/f，旋转方向为反阵阵(即与地球自转方向相反)。对于频率高的短波，a/f较大，因此轨迹椭圆又长又薄。长波浪相反，由于波浪频率较低，a/f接近于1，因此粒子轨迹是圆形的，并在海洋中描绘出众所周知的“惯性圈”(图2)。这些圆形轨迹的半径为U/f，可以使用eqns重新制定。[11]和[12]等于q0/kH。

受地球自转影响的内波动力学的一个重要方面是能量在动能和势形式之间通常不是平均分配的。平面递进庞加莱波(图2)，单位面积平均动能为

其中p是水的密度，单位面积势能为

使得势能与动能之比为

图2无限海洋中的长平面渐进Poincaré波，其中A ~f。注意，当前矢量的旋转方向与地球自转方向相反。摘自Mortimer CH(1974)湖泊水动力学。手套。Int。版本。定理。Angew。Limnol. 20: 124-197，得到E. Schweizerbart (http://www.schweizerbart.de/）.

图2无限海洋中的长平面渐进Poincaré波，其中A ~f。注意，当前矢量的旋转方向与地球自转方向相反。摘自Mortimer CH(1974)湖泊水动力学。手套。Int。版本。定理。Angew。Limnol. 20: 124-197，得到E. Schweizerbart (http://www.schweizerbart.de/）.

到动能比趋近于1(如在非旋转情况下，f!0)，并且接近惯性频率的波将具有接近于零的势能信号(如图2所示的波)。这对这些波的测量有影响，因为它们通常只能通过电流测量(动能的测量)而不能通过分层波动(势能变化的测量)来观测。

边界的引入允许存在开尔文波．经典的开尔文波解是一个垂直于海岸的速度被认为是零的解(图3)。这些波平行于边界传播，在海岸处振幅最大，当沿着传播方向观察时，波的波峰向右(在北半球)。振幅在近海以指数衰减，衰减速率等于罗斯比变形半径R, q - q0e y/Rcos(kx - at)

这表明，频率远大于惯性频率的波将具有势

其中x是沿海岸方向和传播方向，y是近海方向(图3)。注意，波的相速度为c = y/gH，与非旋转系统中的波相同。根据定义，电流矢量是直线的，仅沿岸边方向振荡。与非旋转坐标系中的波一样，势能与动能的比率是统一的。对于内开尔文波，除了斜压相速度的作用和波幅的减小外，动力学是相同的

图3沿x正方向前进的长开尔文波，海岸位于y = 0。河道壁可以垂直放置在常数y的任意点上，例如AB面和CD面。转载自Mortimer CH(1974)湖泊水动力学。手套。Int。版本。定理。Angew。Limnol. 20: 124-197，获得•••(http://www.schweizerbart.de/）.

图3沿x正方向前进的长开尔文波，海岸位于y = 0。河道壁可以垂直放置在常数y的任意点上，例如AB面和CD面。转载自Mortimer CH(1974)湖泊水动力学。手套。Int。版本。定理。Angew。Limnol. 20: 124-197，获得•••(http://www.schweizerbart.de/）.

以内部变形半径Ri为指数的近海。

引入第二个边界显著地使旋转系统所支持的波变得复杂。一个通道(定义为两个两端开放的平行墙壁)能够支持渐进的庞加莱波，由一个斜入射平面及其反射的渐进庞加莱波和两个反向行进的渐进庞加莱波组成的驻波。这些波由类似于图2和图3中所示的单元组成，但是每个单元边界的速度接近于零。封闭一个盆地，从而形成一个“湖泊”，极大地复杂化了波场。对于矩形盆，由于角的复杂性，需要一个入射外加一个反射开尔文波，以及无穷多个相同频率的庞加莱波来满足边界条件。可以找到更简单的解决办法，假设湖泊是由深均的圆形或椭圆形盆地表示的，我们将在下面的讨论中使用这种方法。如前所述，控制这种响应的一个关键的无量纲参数是伯格数s。基于这个参数，可以确定圆形和椭圆形盆地的波浪频率，波浪响应中势能与动能的比值，以及盆地对外部作用力的响应。我们还将依赖于前面描述的简化开尔文波和平面渐进庞加莱波来协助解释结果。

为了理解旋转系统中波的空间结构(以及它们诱导的电流)，考虑两个端点是有帮助的:强旋转(S!0)和无旋转(Sn)。对于内陆水域，这些也可以被认为是“大湖”和“大湖”小湖的情况下。对于S^0，在湖泊内部，我们可以期望平面渐进庞加莱波出现如前面所述(图2)，其中频率接近惯性频率，电流矢量反气旋旋转，大部分能量以动能形式存在。在湖泊边界，我们可以期望经典的开尔文波解，其中近海振幅衰减以R的速率呈指数级，边界处的速度与海岸平行，势能与动能的比值为单位，频率接近于零(图3)。从北方收集的数据美国五大湖支持这个概念模型，内部的运动由近惯性频率主导，边界的运动以“海岸射流”的形式出现，这是开尔文波解的表现形式。随着湖泊变小(即Sn)，我们应该期望波浪与非旋转情况类似，其中势能与动能的比值是单位，近海振幅的衰减不再是指数级的，电流矢量变成直线(即椭圆变得又长又细)。

这些波的特征是如何随伯格数和湖泊纵横比的函数变化的，如图4所示。给出了旋流波(开尔文型)和反旋流波(庞加莱型)圆盆和椭圆盆情况下的无维频率o/f和势能与动能之比的解析解。注意，势能与动能的比值是在整个湖泊上的积分，并不代表空间中某个特定点的特征。我们首先考虑圆形盆地中的波浪

0

0.6 0.4 0.2 0

汉堡编号(R/L)

汉堡编号(R/L)

- e -	气旋(1:1)
- - - - - - -	气旋(2:3)
■■□■	气旋(1:3)
- * -	Anti-cyclonic(1:1)
- v -Anti-cyclonic(2:3)
0	Anti-cyclonic (1:3)

图4无量纲频率(上面板)和势能与动能之比(下面板)作为波型和纵横比的函数，其中括号中的数字指的是纵横比。结果与半球无关，给出了无量纲频率的绝对值。转载自Antenucci JP和Imberger J(2001)大型湖泊中长内部重力波的能量学。湖沼与海洋学46:1760-1773，经美国湖沼与海洋学学会许可。

图4无量纲频率(上面板)和势能与动能之比(下面板)作为波型和纵横比的函数，其中括号中的数字指的是纵横比。结果与半球无关，给出了无量纲频率的绝对值。转载自Antenucci JP和Imberger J(2001)大型湖泊中长内部重力波的能量学。湖沼与海洋学46:1760-1773，经美国湖沼与海洋学学会许可。

根据定义，比例为1:1)。在强旋转情况下(S!0)，气旋波频率趋于0，能量比趋于1。这是前面概述的半无限边界的开尔文波极限(图3)。对于反气旋波，频率接近惯性频率，能量主要是动能-前面概述的平面渐进庞加莱波解(图2)。随着S的增加，两种类型的波频率都增加，并随着湖泊变小而缓慢收敛。反气旋波的能量比也逐渐增加，并逐渐接近单位，即非旋转极限(Sn)。对于气旋波，能量比增加到最大值~1.5，然后逐渐接近单位，如Sn。重要的是，与Sn一样，这两种溶液具有相同的特征(频率、能量比、跨盆结构)，只是它们旋转方向相反。因此，它们在高S处表现为驻波。

盆地中势能(即温跃层振荡)和动能(即洋流)的分布也随着旋转重要性的变化而变化(图5)。对于强旋转情况(S!0)，气旋波的跨岸势能结构具有与沿海岸线传播的开尔文波相关的指数衰减，其中我们可以重写为eqn。[14] q = q0e~3=SL，因此对于小S，指数衰减相对于湖宽是快速的(图5(a))。动能也主要位于靠近海岸的地方(图5(c))，因此“海岸射流”一词适用于北美五大湖的这些运动。随着旋转的重要性降低(S增加)，气旋波的信号在内部更强。值得注意的是，在这种情况下，水流并不是平行于湖的边界-在海岸线附近，它们保持平行，如图3所示;然而，向内部，当前的椭圆变得更圆，实际上是在气旋方向旋转。对于反气旋波(poincare型)，随着旋转重要性的变化，结构变化很小(图5(b)和5(d))。注意，当Sn时，气旋波中的势能和动能分布接近于反气旋波。

我们现在考虑改变纵横比的影响，从圆形盆地形状移动到椭圆盆地。请注意，Rossby半径是在椭圆盆地中基于长轴的长度定义的，而不是小轴，如图4所示。减小纵横比的效果是，当s值较低时，系统接近非旋转情况

图5径向结构气旋性和反气旋性波能分布作为伯格数的函数为圆形湖的最低频率运动(基本模式)。气旋波结构如图(a)和(c)所示。反气旋波结构如图(b)和(d)所示。每个Burger数的径向结构已按其最大值归一化。请注意，并非所有的汉堡数字都显示在面板(b)和(d)中。请注意，(a)中的指数衰减与图3和eqn中表示的相同。[16]。转载自Antenucci JP和Imberger J(2001)大型湖泊中长内部重力波的能量学。湖沼与海洋学46:1760-1773，经美国湖沼与海洋学学会许可。

每对气旋波和反气旋波都是发散而不是汇聚的。在Sn极限下，气旋波转变为纵波湖面，反气旋波则成为横向地震解。正是由于这个原因，横向的风强迫被观察到更容易产生反气旋的庞加莱型波浪。

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