伴随数据同化方法
安德鲁·m·摩尔
摘要综述了伴随方法在数据同化中的应用，并给出了实例。
14.1介绍
伴随算子是许多用于数值天气预报的操作数据同化系统的核心，在海洋学中也越来越受欢迎。在本章中，我们将回顾数据同化伴随方法的使用。我们从14.2节开始探讨线性算子伴随的概念，以及使它成为数据同化不可缺少的工具的重要性质。文中使用了熟悉的说明性例子来强调重要的观点。支持4维变分数据同化(4D-Var)的基本概念在第14.3节中进行了回顾，在第14.4节中，使用区域模型给出了加州电流系统的4D-Var计算示例海洋建模系统(rom)。
14.2什么是伴随算子
伴随只存在于线性算子中。伴随算子的概念最好的说明方法是首先考虑线性算子和函数的离散形式，即矩阵和向量。以下是关于伴随算子的一个简短的exposé，但在Lanczos(1961)的经典文本中可以找到一个很好的深入描述。
加州大学海洋科学系，加州圣克鲁斯95064，美国e-mail:(电子邮件保护)
A.席勒、G. B.布拉辛顿主编，操作海洋学在21世纪，351
DOI 10.1007/978-94-007-0332-2_14，©施普林格Science+Business Media B.V. 2011
14.2.1空间
函数空间中的任何连续线性算子都有一个矩阵形式的离散类似物。类似地，任何连续函数都有一个离散的类似向量的形式。考虑到这一点，考虑N × M的矩形矩阵A，矩阵A作用于长度为M的向量集合u，并得到一个长度为N的向量集合w，因此w=Au。所以我们说A从一个M维空间(“M空间”)映射到一个N维空间(“N空间”)。算子A的伴随矩阵可以用矩阵转置来表示，即AT。矩阵转置和伴随算子之间的形式联系将在第14.2.2节中说明，但目前将伴随算子识别为矩阵转置就足够了。伴随AT是一个M × N矩阵，它作用于长度为N的向量v的集合，得到长度为M的向量z的集合，即z=ATv。所以我们说从n空间到m空间的伴随映射。
假设我们希望解线性方程组y=Ax(给定A和y)。这代表了x的M个未知元素的N个方程的方程组。如果N < M，系统被认为是欠定的，因为方程比未知数少。在这种情况下，我们可能会问x是否存在唯一或有意义的解?答案可能是肯定的，并由所谓的“自然解”给出，其中伴随算子起着关键作用。假设我们寻找一个x=ATs形式的解。当向量x位于m空间时，向量s位于n空间，因此我们有效地将我们对解的搜索限制在n空间，即已知向量y所在的空间。我们现在已经将问题简化为求解y=AATs，这是一个很好的假设，因为AAT是一个N × N的矩阵，它将s映射到y的N个已知元素。x=ATs的解称为自然解，s称为生成函数。正如我们将看到的，生成函数在一些数据同化方法中是重要的角色。
让我们考虑一个熟悉的地球物理例子，在这个例子中，自然解起着关键作用。流体单元相对涡量的垂直分量由g = dv/dx - d«/dy给出，其中(u,v)是速度的andy分量。假设我们得到了一个由离散点(x,y)上的g值组成的场，例如在一个数值模型的网格上。这是一个函数的离散模拟，我们将用向量g表示，其中g的每个元素代表g的一个网格点值。给定n空间中的场g，我们如何在M空间中找到相应的速度分量(u,v)，在这个例子中M=2N, u和v分别是u和v的网格点值的向量?这是一个欠定线性系统，其自然解的形式为:
其中A = (- d/dy d/dx)， g = AATs = -(92/dy2 d2/dx2)s。如果我们确定s = -f，我们就恢复了熟悉的方程g = V2f，将涡度g与流函数^联系起来，这是由水平无发散流的亥姆霍兹定理引起的。这个例子表明，流函数是水平无发散流动的涡量的产生函数。
回想一下，N × M矩阵A在函数空间中有一个等价算子A，所以当N < M时，函数A只作用于函数空间的一部分。在离散的情况下，可能的M个维度中最多只有N个被矩阵A激活。更一般地，A的激活维度对应于具有非零特征值X的AAT的p < N个特征向量。M x N伴随算子AT识别M空间的激活部分，忽略零空间。因此，自然解y = AATs表示仅存在于a的激活维数中的解。用线性代数的说法，AAT是由a的值域张成的子空间上的投影。在线性微分方程理论中，自然解也称为特积分。零空间中的解满足方程Ax = 0，在线性微分方程理论中称为互补函数。任何线性微分方程或等效离散线性系统的通解是特定积分(自然解)与互补函数的和。在函数空间和离散空间中伴随算子都表示通解的这两部分所在的空间。稍后我们将看到，我们可以使用伴随算子的这个重要性质进行数据同化。
在结束对向量空间的讨论之前，有必要考虑N x M矩阵A，其中现在有N > M。相应的线性系统y=Ax可能是过定的或受约束的，因为方程比x的未知元素多。回想一下，伴动AT将向量从N空间映射到x的解所在的M空间，因此很容易求解系统ATy=ATAx。在这种情况下，ATA是AT张成的子空间上的投影。很容易证明该方程组的解使(Ax - y)T(Ax - y)最小，并且是过定方程组常见的最小二乘解。因此，我们看到伴随算子在确定过定系统的最小二乘解方面也起着关键作用。
14.2.2操作符附加符
为了完成算子伴随与矩阵的联系，回归到函数空间是有指导意义的。在函数空间中，我们将线性算子表示为a，并将算子的伴随矩阵表示为a +。考虑函数u和w，使w = Au，它是第14.2.1节中考虑的离散情况的连续模拟。对于任意两个函数u和v，通常存在一个内积和一个相关联的范数，我们用{v,w}表示。伴随算子总是与特定的内积相关联，定义为{v,Au} = {a +v,u}，通常称为格林恒等式。不同内积的伴随算子实际上是线性相关的。为了说明，假设我们让{v,w}表示欧几里得范数的内积，并定义一个不同的内积为
(v,w) = {v,Mw}，其中M是一个线性自伴随算子(即M+=M)，可逆算子。A关于新内积的伴随记为At，由格林恒等式(v,Au) = (Atv,u) = {M~ 14 +Mv,Mu}定义，即At = M-A+M。
在离散情况下，格林恒等式被称为双线性恒等式，函数空间的内积被点积取代，因此对于欧几里得范数，我们有{v,w} = vTw。对于w=Au，伴随算子的双线性恒等式变成vTAu = (ATv)Tu=uTATv，表明对于欧几里得范数，伴随算子A+的离散等价是矩阵转置AT。如果A是一个N × M矩阵，v和u分别位于N空间和M空间。当点积vTw=vT Au在n空间中求值时，它是唯一的，因为z=ATv，在m空间uTz=uTATv=vTAu = vTw。
练习1:如果AT是方阵A表示的算子关于欧氏范数vTw的伴随，推导伴随算子A关于范数vTMw的表达式，其中M是对称可逆矩阵，并证明A = M- 1atm。
14.2.3举例说明
第14.2.1节和第14.2.2节的思想可以用一个简单而熟悉的地球物理例子来最好地说明。考虑一个深度为H的矩形、均匀、平底海洋，其形式是一个旋转通道，它跨越笛卡尔定域0 < x < 1,0 < y < 1，在x上是周期性的，并且在y=0和y= 1处循环的正流边界条件为零。
14.2.3.1浅水线性方程
我们将首先考虑海洋中线性波浪的情况，其中循环由线性浅水方程描述:
式中(u,v)为速度在x和y方向上的分量，h为海面位移，f=fy)为科里奥利参数，h为恒定的无扰动深度，g为重力加速度。零法向流动边界条件对应于在y =0和y = 1处v=0，而x中的周期性要求u(0,y) = u(1,y)， v(0,y)=v(1,y)， h(0,y) = h(1,y)。回想一下，du的伴随量dt - fv = -gdh/ dx dv /dt + fu = -gdh/dy Bh/Bt + B (Hu) jdx + B (hv) jby = 0
方程式。(14.1)-(14.3)取决于内积的选择。浅水方程的自然内积是产生能量范数的内积:
E = f f 1H (u2 + v2) + 1 gh2dxdy。(14.4)
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