表层相似理论
基于量纲分析的表层理论告诉我们大部分我们需要知道的东西，但它没有告诉我们阻力系数如何依赖于施加层顶条件的高度，也没有精确地说系数如何依赖于分层或表面粗糙度。现在我们将用更精确的相似假设形式重新做表层理论。我们从中得到的最重要的东西是在稳定条件下对湍流混合的抑制的量化。这对夜间和冰面或雪地上的通量施加了非常重要的控制，因为这些地方的表层条件通常是稳定的。特别是，当冰或雪融化时，温度被固定在冰点上，所以如果大气温度显著高于冰点，表层就非常稳定，这就限制了融化所需热量的传递。
设c为我们想要确定其在表层的通量的任意量。可能是温度、水蒸气、甲烷或其他化学示踪剂。我们还将利用相似理论考虑水平动量的通量(与水平风u成正比)。虽然我们不打算在这本书中做太多的动力学，但我们仍然需要谈谈动量通量，因为这将告诉我们平均风是如何随表层高度变化的。
根据定义，在表面层内，示踪剂的通量和动量是恒定的。这允许我们定义以下速度和示踪剂尺度:
根据第二个定义，示踪剂通量仅为u*c*。速度尺度ut称为摩擦速度，按惯例取为正。当示踪剂通量上升时，示踪剂波动尺度c*为正。
然后推导了平均示踪和平均风的垂直梯度方程。我们首先考虑中性分层的情况，在这种情况下浮力可以忽略不计。严格地说，这种情况只适用于表层内密度恒定的情况。任何有热传输的情况都会涉及一些温度波动，因此也会有密度波动。然而，在实践中，当整个表层的温差足够弱时，中性分层计算可以得到准确的结果。“足够弱”的定义将在以后精确，当我们考虑到浮力时。
当表层浮力不显著时，问题中出现的唯一长度标尺是离地面的高度z。由于唯一的示踪标度是c*，唯一的速度标度是u*，量纲分析告诉我们，垂直梯度的方程必须是
其中Kvk是一个叫做冯·卡门常数的无维常数。理论上，示踪方程中出现的非维常数可能与动量方程中的常数不同，但实验室实验表明，实际上相同的常数适用于两者。冯卡门常数已在广泛的湍流实验室实验中测量，这表明Kvk«.4。示踪剂方程中的符号选择由物理要求决定，即当表面浓度大于高空浓度时，示踪剂通量向上。
相似方程使我们能够将示踪剂的通量与地面与表层上边缘之间示踪剂浓度的差异联系起来，对于动量也是如此。设zi为表面层的上边。从较小的高度z*到zi积分，假设风在高度z*消失，我们发现
我们设置积分下限的高度z*不能被发送到零，因为在该极限内存在对数散度。实际上，它有物理意义，被称为粗糙度高度。它对应于这样一个高度，在这个高度上，气流被边界的不规则性所干扰，以至于平均流量基本上为零。粗糙高度松散地对应于表面上凸起的典型高度，但通常小于从凸起的物理高度直觉得到的高度。在实践中，它是通过将观测到的平均风廓线与对数形式拟合来确定的。在开阔水域，粗糙度长度约为0.0002 m，但强度较大风速风驱动的波浪显著增加了粗糙度。在冰或光滑的土地上，粗糙度长度更接近0.005 m，如果有草地或低植被，则增加到0.03m，低森林为0.5 m，大森林或城市地区为2 m。
风和浓度的对数剖面图被称为壁面定律，并已在各种湍流流动中得到验证，从风洞和水洞实验到大气测量，再到芬迪湾潮汐涌浪的速度剖面图。接下来，可以将示踪剂和速度方程结合起来，得到示踪剂通量
w 'c ' = u * c * = (ln (Vk)) 2 u(子)(c (z) - c(子))(6.18)
从中我们可以确定阻力系数
CD =(r# (6-19))
这个公式允许我们明确地计算阻力系数给定的粗糙度高度和高度，一个人选择应用边界条件在表面层的上边缘;为了方便，人们可以自由地选择zi，只要它足够低，使得表层内的通量是恒定的。虽然有时对水分和动量使用不同的粗糙度长度，但对所有混合量使用相同的阻力系数通常是足够的。利用前面的粗糙度长度值，假设zi = 10m，得到开阔水域、冰或光滑土地、草地、矮林和大森林的CD分别为0.0014、0.0028、0.0047、0.018、0.062。
现在我们来介绍浮力的作用。要做到这一点，我们必须首先定量地定义浮力。设pg为地面的平均密度。那么密度为p的空气包裹在接近地面时所受到的净力(单位体积)为g■(pg - p)。空气团的加速度由力除以质量得到，因此为g■(pg/p - 1)。浮力加速度是重力减小的一种形式，反映了浮力抵消了部分重力，导致加速度减小的事实。我们将浮力加速度简称为“浮力”，用符号p表示。浮力受温度和大气成分的影响。在成分均匀的情况下，当暖空气被冷空气包围时，暖空气将具有积极的浮力。然而，富含低分子量物质的空气在被低分子量物质的空气包围时，即使温度均匀，也会有浮力。例如，由于水蒸气的分子质量比干燥的地球空气低，湿润的空气包裹增加了向上的浮力，干燥的空气包裹往往会使它下沉。在土卫六大气中向N2中加入甲烷也是如此。 Similarly, the Martian大气中含有平均含有百分之几的Ar，而Ar的分子量比CO2高。因此，当纯CO2从火星CO2季节霜帽中升华时，它将在CO2和Ar的混合背景中具有正浮力。人们可以想象出大气成分从地表释放或吸收到地表的各种情况，但最常见的情况是可冷凝物质凝结到地表的储层上或升华/蒸发。可能是海卫一上的N2冰，土卫六上的液态CH4，火星上的CO2冰，或者地球上的固态或液态H2O。利用理想气体定律，密度为p = RpT(1 - *> + RT"' = -¿t (1 + (M - ^ (620))
式中，Ma和Mc分别为不凝背景气体的分子量和可凝组分的分子量。由于表面层很薄，所以可以假定p在层内几乎为常数。浮力是这样的
Tg 1 + (e - 1)nc其中e = Mc/Ma和nc,g是地面可冷凝物质的摩尔浓度。当nc = V'，g = 0，或e = 1时，浮力就是g■(Tg - T)/Tg。一般情况下，如果e < 1，则增加nc使包裹浮力增强，而如果e > 1，则增加nc使包裹浮力增强。一般情况下，浮力是温度和浓度的非线性函数，但在(T - Tg)/Tg和nc都很小的特殊情况下，浮力表现为简单形式
P«gTjTTg + g■(e - 1)(nc,g - nc) (6.22)
其中浮力是温度贡献和组成贡献的和。当使用任何一种形式的浮力时，假定产生浮力的示踪剂在地面上是饱和的，在典型情况下，其通量由地面上的可冷凝储层维持。因此，nc,g = Psat(Tg)/p，其中Psat由克劳修斯——克拉珀龙方程．
我们可以治疗浮力通量平均浮力剖面就像我们在中性情况下做示踪剂通量和示踪剂剖面一样，定义w'3' = u*3*。然而，浮力尺度3*现在是一个具有加速度维度的动态显著量，它可以影响剖面。这有一个重要的结果，即z不再是进入问题的唯一长度尺度-此外，我们可以定义莫宁-奥布霍夫长度
Kvk 13 * 1
在莫宁-奥布霍夫长度的定义中包含冯-卡门常数纯粹是一种惯例，并没有特殊的物理意义。莫宁-奥布霍夫长度与速度为u*的负浮力羽流在耗尽动能之前上升的高度或最初处于静止状态的正浮力羽流在达到速度为u*之前上升的高度大致相同。对于距离边界比i更近的距离，湍流由风切变的动能主导，就像在中性情况下一样。对于远大于i的高度，浮力会抑制或增强湍流。使用Monin-Obukhov长度，我们定义无维度深度Z = Z /i。与中性情况相反，风、示踪剂或浮力梯度的方程都可以依赖于Z的某个函数;原则上，由于函数有一个无量纲参数，人们可以在现场或实验室获得数据，并一次性确定函数，就像它是正弦或余弦一样。检验这一大胆假设有效性的方法是评估来自各种不同领域和实验室数据集的函数，看看从每个数据集得到的结果是否基本相同。这是相似理论所依据的假设，而且在实践中似乎很有效。根据相似函数，得到浮力方程和风梯度方程
Kvk ^ = -1 3* Fp (Z)
一般来说，人们应该考虑到浮力和动量方程的不同比例函数，这有时确实是必要的，以提供一个良好的拟合数据。对于稳定分层(即负浮力)情况，已发现对两个方程使用相同的标度函数是足够的。稍后将对积极乐观的情况作一些评论。无论如何，我们假设Fu =。在无量纲形式下，方程变成
dZ Z
哪些积分出来的关系
Kvk (3(Zi) - 3(Z*)) = - 3*G(Zi) (6 26)
其中G(Zi) = J^1 (F(Z)/Z)dZ。为了消除浮力和速度尺度，我们将第一个方程除以第二个方程的平方，再乘以zi - z*，得到
(C3(zi)_-£(**))_ Ci - C* u2
-(zi- = (6-27)
其中我们重写了平均浮力作为维度高度的函数。左边是一个无量纲数，称为散装理查德森数，以后用Ri表示。理查德森数可以用表层上下边缘的已知量来计算，并给出势能和动能的相对重要性;当|Ri| ^ 1时，浮力可以忽略不计，表层可以视为中性。
给定Ri，式6.27可以显式求解，也可以迭代求解Zi，这使得ft*和u*可以由式6.26确定。浮力通量为
w'ft' = u*ft* = u(ft(Z*) - ft(Zi))(6.28)，从中我们可以确定阻力系数
这给出了浮力通量的阻力系数，但我们真正想要的是感潜热通量。当大气成分均匀时，浮力通量与感热通量成正比，因此上述推导的阻力系数可以明确地用于感热通量。然而，当大气的组成成分不均匀时，感通量和潜通量的阻力系数原则上可能与浮力的阻力系数不同。这有时是通过引入单独的经验确定的水和热通量的缩放函数来处理的。该理论的细化是相当直接的，可以在本章的进一步阅读部分提供的参考资料中找到。有相当数量的数据与地球上水分通量的相似函数有关，其中水分的浓度达到整个大气的百分之几。这些几乎可以肯定适用于其他类似浓度的浮力产生物质。然而，当浮力产生的成分占大气的很大一部分时，就像土卫六上的甲烷一样，相似函数的行为基本上还没有被探索。在我们的计算中，我们将满足于对所有通量使用相同的阻力系数。在稳定分层的情况下，所产生的误差可能不会太严重，因为我们很快就会看到，分层的主要影响基本上是扼杀所有湍流通量理查德森数超过临界值时;对理论的改进只修改了中性条件和几乎完全抑制之间的相当狭窄的窗口内的通量。
为了进一步进行，我们需要指定一个显式的相似函数F(Z)。在稳定分层情况下(Ri > 0)，可以用函数形式F(Z) = 1 + Z/Ric充分拟合现场和室内实验，其中Ric«0.2。根据这个定义，
G(子)= Ri - Z (Zi - *) + ln Z1 = R - (Zi - Z *) + ln - (6.30)
利用这种简单的相似函数形式，方程6.27可以解析地用Ri来求解Zi，尽管对于通常使用的更复杂的函数通常需要数值迭代。对于这种形式的G，用Ri来求解Zi - Z*的公式6.27很简单，求出G(Zi)，然后从公式6.29计算CD。注意，对于G的假设形式，Eq. 6.27的右边在参数接近无穷大时有一个最大值Ric。因此，当Ri > Ric时，没有一致的解。假定湍流完全被抑制，湍流通量消失，以获得更稳定的Ri值。完全抑制湍流有些不现实，有些公式使用G的替代形式，以便允许一点通量持续到非常稳定的情况。然而，莫宁-奥布霍夫理论在非常稳定的条件下的适用性是一个相当有争议的问题。
执行上述步骤，我们发现阻力系数为
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