灰色气体模型
我们将在第4.4节中看到，对于大多数大气气体k，因此光学厚度，与波数有复杂的依赖关系。这使得辐射传递方程的解相当复杂，因为通量必须在一个非常密集的波数网格上单独求解，然后将结果积分得到净大气加热，这是主要利益的数量。可以改进蛮力集成的捷径的开发是一项复杂的业务，在某些方面它既是科学也是艺术，并且会导致难以理解的行为的方程。当光学厚度与波数无关时，辐射传递方程变得简单得多。这就是所谓的灰色气体近似。对于灰色气体，Schwartzschild方程可以在波数上积分，得到一个向上和向下净通量的微分方程。更具体地说，我们只需假设光学厚度与红外光谱内的波数无关，而且行星及其大气的温度是这样的，以至于基本上所有的辐射都是红外辐射。我们不是对所有波数积分，而是只对红外范围积分，从而得到一组净红外通量的方程。由于关于发射光谱的假设，普朗克函数nB(v, T)在红外范围内的积分可以很好地近似于aT4。
除了像水这样的强吸收凝结物质的云，灰色气体模型在真实大气中产生的辐射转移的表现很差，因为吸收通常强烈依赖于波数。尽管如此，对灰色气体模型的彻底理解为任何更深入的研究提供了起点大气辐射．在这里，我们可以发现许多基本现象，因为在求助于详细的数值计算之前，我们可以走得更远。此外,灰色气体辐射在涉及辐射与流体动力学耦合的理论研究中，当人们希望专注于动力学现象而不需要实际气体辐射传递的复杂性和计算费用时，已被证明是有价值的占位符辐射方案。有时候，一个容易理解的简单方案比一个难以理解的精确方案更好。
两流史瓦西方程的灰色气体版本是通过使tv与频率无关并在所有频率上积分得到的。结果是
考虑到t现在与v无关，上一节中给出的解的灰色气体版本可以通过对所有频率的关系进行积分类似地得到。表达式的形式与以前完全相同，除了1+和I_现在表示对所有长波频率的总通量积分，并且每次出现nB都被aT4取代。为了避免不必要的符号扩散，当上下文允许混乱的可能性很小时，我们将使用相同的符号I+和I_来表示长波积分通量，就像我们之前用来表示频率相关的通量谱一样。当我们需要强调通量是一个频率相关的频谱时，我们将明确地包括这种依赖关系(如“I+ (v)”或“I+ (v,p)”;当我们需要强调通量代表长波积分净通量时，我们将使用超棒(如I+)。
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