带散射的两流方程
完全散射方程的两个流近似是由Eq. 5.14和Eq. 5.15导出的，方法是限制辐射的角度分布，使这些方程中出现的所有积分可以写成i++ I_或I+ - I_。在得到的方程中，向上气流中的通量被吸收，或分散到向下气流中，其速率与向上气流的强度成正比，向下气流也是如此。双流近似是物理学家委婉地称之为“不受控制的近似”的一个例子，因为它们实际上在任何有用的极限上都不精确，但与更精确的计算相比，它们在物理上是合理的，并且表现得相当好。双流近似有不可避免的不准确性，因为事实上，仅从向上和向下通量的知识不可能精确地确定散射或吸收。双流近似可以被认为是N-流近似序列中的第一项，随着N变大而变得精确。幸运的是，对于大多数气候问题，N = 2证明是足够准确的。raybet雷竞技最新
漫射辐射的双流近似的一般形式是，其中t*是垂直方向上的光学深度(向上增加)，包括散射损失。系数Yj取决于频率，散射体的性质，以及关于辐射角度分布的特定假设，该假设是为了从完整的角度分辨方程推导出近似的双流形式。我们通过取y2 = 7+ = 7- =0和71 = yb = 2来恢复前几章中使用的半球面各向同性Schwartzschild方程。与yb成正比的项表示辐射热发射的源，与7+和y_成正比的项表示直接光束散射引起的扩散辐射源。假设直射光束在行进方向上具有通量Lq(通常为太阳常数)，并以相对于垂直方向的角度Z行进。没有向上的直束项，因为假设所有从地面散射的直束通量都散射成漫射辐射。
I+和I_的系数之间的对称性是由当向上和向下交换方向时，方程在形式上不变的要求决定的。71给出了向上或向下辐射损失通量的速率，而72给出了向上和向下辐射通过散射的转换速率。我们可以推导出7j的附加约束条件。两个方程相减得到净垂直通量dL(1+ - 1-) = -(7i - 72)(1+ + I_) + 2ybnB + +(7+ + y_)L0 exp(-(r^ - t*)/cos Z)(5.28)的方程。
首先，我们要求在没有直接光束源的情况下，在无限等温介质的极限下，通量减少到黑体辐射。因为在这种情况下B是常数且L0 = 0，我们可以假设左边的导数为零。由于黑体辐射I+ = 1 - = nB，我们得到yb = 71 - 72。与式5.14比较，我们还发现，7+ + 7 - = vo。为了进一步利用公式5.14，我们必须近似f Idl与i++ I_成比例。比例常数，我们称之为27'，取决于假设的辐射角分布。根据这个近似，得到71 - 72 = 27'(1 - vo)。
作为对上述推理的检验，在保守的散射极限= 1，漫射垂直通量与直接光束垂直通量之和为常数。
接下来，我们将I+和I_的方程相加得到
^我+ + I_ () = (71 + 72) (I + - I_) + (7 + 7 _) L0 exp (- t (t ^ - *) / cos Z) (5.29)
这可以与公式5.15给出的对称通量投影进行比较。假设角度分布可以近似JIH(cos0) cos0di与i++ 1_成正比，jihdl和f IHdl分别与I+ -1_成正比。因此，71 + 72 = 27•(1-g^o)，其中7与比例系数有关，g是表征散射不对称性的系数。如果H = cos 0，那么g实际上是Eq. 5.17定义的不对称因子g，但是其他形式的H产生了一些不同的不对称因子，尽管这些倾向于合理地接近g。例如，Eq. 5.20给出的H形式，我们表明g = 2g对于截断为其前三个傅里叶分量的相位函数。最后，在G = gcos为0的情况下，可以得出7+ - 7_ = -27vog。当H = cos 0时，这一关系完全成立，并将其强加于其他形式的H，引入的误差并不比将整个散射方程减少到两个流时不可避免的其他误差更严重。
满足上述所有约束条件的双流系数集的一般形式为
7B = 27'•(1 - Vo)，
7+ = ^Vo - 7Vogcos Z 7_ = 1 Vo + 7Vogcos Z
系数7和7'是纯粹的数值因素，取决于关于辐射角分布的假设，这是用来解决双流问题的。所有的垂直依赖都来自于vo，如果散射的不对称性质也可能来自于g
Hemi-isotropic
交
埃丁顿
2 V3
表5.3:各种双流近似粒子的系数随高度而变化。常用的闭包有三种。第一种是半球面各向同性闭包，我们之前在推导无散射的双流方程时使用过。在这个闭包中，假设通量在向上和向下的每个半球是各向同性的(即I是常数)，但在每个半球有不同的值。半各向同性闭包由权重函数H由式5.20定义，利用式5.21。考虑到黑体源项的各向同性，一般认为半各向同性近似最适合于热红外有或没有散射的问题。另一个广泛使用的闭包是爱丁顿近似。Eddington闭包是通过取H = cos 0并利用公式5.19得到的。为了完成闭包，/Icos2被写成i++ I_通过假设通量被截断为前两个傅里叶分量，所以I = a + bcos0。这可能是最广泛使用的封闭处理太阳辐射。一般认为，这种封闭是处理这两种问题的好选择瑞利散射以及由云粒子引起的高度前峰散射，尽管这一观点的数学证明并不十分可靠。正交近似是类似的，除了J" icos2是用一种称为高斯正交的技术来计算的，它产生了不同于爱丁顿闭包的比例常数。表5.3给出了三个闭包的定义系数。
当= 0时，没有散射，因此向上和向下的流应该变得不耦合。从公式5.30我们可以看到，这种解耦只在7 = 7'时发生，这一要求满足半各向同性和正交近似，但不满足爱丁顿近似。由此可见，爱丁顿近似会引起严重的误差散射是较弱，但当散射与吸收相当或优于吸收时，它仍然可以优于其他近似。
两流方程构成了两个因变量的常微分方程的耦合系统。因此它们需要两个边界条件。在大气的顶部，一般没有入射的漫射辐射，所以那里的边界条件简单地为I_ =0。在底部边界，我们要求向上的扩散辐射是地面向上发射与反射的直接光束和向下的扩散辐射的总和。一般来说，直接光束反射可能部分产生反射的直接光束(就像从镜面光滑表面反射一样)，但在下面我们将假设所有来自底部边界的反射都是漫反射。因此，t* =0处的边界条件为
我+ (0)= egnB (v, Ts) + agLe cosZexp (- t * / cosZ) + agI_ (0) (5.31)
其中eg为地面的发射率，ag为地面的反照率，两者均随v变化;基尔霍夫定律表明，对于任何给定频率，eg = (1 - ag)。
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